Борис Кочейшвили родился в 1940 году в подмосковном городе Электросталь. В 1962 году окончил Московское государственное академическое художественное училище памяти восстания 1905 года. В 1964 году член Союза художников России. С 1965 по 1975 год занимается в знаменитой Экспериментальной студии офорта им. И.И. Нивинского под руководством Е.С. Тейса. В 2013 году в Мраморном дворце Государственного Русского музея прошла выставка автора «Простое лето». Известен также как поэт. Работает как график и живописец, является автором гипсовых картин-рельефов. Для произведений Кочейшвили характерна композиция, стремящаяся к квадрату.